Physique - exercice dérivée. La dérivée première de la position en fonction du temps x'(t) donne la vitesse instantanée v(t) du mobile ou de la particule en mouvement. La dérivée de l'équation de la vitesse en fonction du temps v'(t) donne l'accélération instantanée a(t) du mobile ou de la particule en mouvement. Et la dérivée seconde de la distance parcourue (ou position) en fonction du temps x' '(t) donne l'accélération instantanée du mobile ou de la particule en mouvement.

Dérivée : correction exercice 6 du Niveau intermédiaire

Une particule évolue de façon rectiligne au cours du temps. Sa position x en fonction du temps est donnée par l'équation x(t) = 2t³ - 12t² + 20t + 3 où x(t) exprime (en mètre) la distance parcourue par la particule au temps t. Vous devez :

• a) situer la particule au temps t = 2 sec et trouver également sa vitesse à cet instant,

• b) situer la particule si sa vitesse vaut v = 2 m/sec

Cet exercice est très similaire à l' exercice 5.

x(t) = 2t³ - 12t² + 20t + 3 avec x(t) en mètres et t en secondes.

x '(t) = v(t) = 6t² - 24t + 20 avec v(t) en m/sec.

a) Situer la particule au temps t = 2 sec et trouver également sa vitesse à cet instant

La position à 2 secondes vaudra x(2) = 2.(2)³ - 12.(2)² + 20 . 2 + 3 = 11 m. Au temps
t = 2sec , la particule se trouve à 11 m du point de départ, à sa droite.

v(2) = 6.(2)² - 24.(2) + 20 = -4 m/s. La particule a une vitesse négative. Cela signifie qu'elle va en sens inverse avec une vitesse absolue de 4 m/s, la particule recule.

b)Situer la particule si sa vitesse vaut v = 2 m/sec

Où se trouve la particule si sa vitesse vaut v = 2 m/sec ?

v(t) = 6t² - 24t + 20

2 m/s = 6t² - 24t + 20

6t² - 24t + 18 = 0

Rappel:

Soit l'équation du second degré Si y = 0 nous avons Dans ce cas les valeurs de x, x1 et x2, correspondantes se calculent comme suit :

Cela signifie que à la fois au temps t = 3 sec et au temps t = 1 sec, la vitesse aura pour valeur 2 m/s. Mais quelle sera la position par rapport au point de départ à ces deux temps ?

Pour t = 1 sec
x(1) = 2 (1)³ - 12 (1)² + 20 (1) + 3 = 13 mètres à droite du point de départ.

Pour t = 3 sec
x(3) = 2 (3)³ - 12 (3)² + 20 (3) + 3 = 9 mètres à droite du point de départ.