Notions mathématiques abordées: équation d'une parabole (équation du second degré) - tangente et point de tangence à la courbe - équation d'une droite (équation du premier degré) - coefficient angulaire - pente - point d'intersection de la parabole avec la droite - résolution d'un système d'équations.
Dérivée : correction exercice 8 du Niveau intermédiaire
Soit la courbe décrite par l'équation y = (1/2)x2 - 2x + 3, en quel point
la tangente est-elle perpendiculaire à celle passant par (1 ; 0) ?
Il est important de représenter schématiquement la situation par un dessin grossier tracé à main levée :
Nous recherchons donc le point (x2 ; y2) de la parabole pour lequel la tangente Tg2 est perpendiculaire à la tangente Tg1 qui passe par le point (1 ; 0). Nous savons que l'équation d'une droite est y = ax + b :
Tg2: y = ax + b
Tg1: y = dx + c
Or, puisque Tg2 doit être perpendiculaire à Tg1, on sait que le produit des coefficients angulaires doit valoir -1 :
a . d = -1
d'où d = -1/a
La prabole a pour équation f(x) = (1/2)x2 - 2x + 3. Sa dérivée vaut f '(x) = x - 2. On sait aussi que f '(x1) = x1 - 2 = coefficient angulaire de Tg1 = d = -1/a. Et donc f '(x2) = x2 - 2 = coefficient angulaire de Tg2 = a. Nous savons également que Tg1 passe par le point (1 ; 0). Nous pouvons donc écrire :
y = dx + c
0 = d.1 + c
d'où c = -d
Aussi, nous savons que Tg2 et la parabole partagent un point commun (x2 ; y2). Nous pouvons donc écrire:
Parabole: y = (1/2)x2 - 2x + 3
Tg2: y = ax + b
pour x = x2 et y = y2 nous avons:
Parabole: y2 = (1/2)(x2)2 - 2x2 + 3
Tg2: y2 = ax2 + b
d'où (1/2).(x2)2 - 2.x2 + 3 = a.x2 + b
Même raisonnement pour l'intersection de la parabole avec Tg1 en (x1 ; y1) et nous obtenons:
(1/2).(x1)2 - 2.x1 + 3 = d.x1 + c
Récapitulons les équations que nous venons de produire:
(1) Tg2: y = ax + b
(2) Tg1: y = dx + c
(3) d = - 1/a
(4) x1 - 2 = -1/a
(5) x2 - 2 = a
(6) c = - d
(7) (1/2).(x2)2 - 2.x2 + 3 = a.x2 + b
(8) (1/2).(x1)2 - 2.x1 + 3 = d.x1 + c
Nous avons ici un beau système de 8 équations. Avant de le résoudre, il faut s'assurer que nous ayons au moins autant d'équations que d'inconnues. Si nous avons plus d'inconnues que d'équations, le système n'est pas résolvable, nous sommes alors fichus. Comptons nos inconnues: y, a, x, b, d, c, x1, x2, ce qui fait 8 inconnues pour 8 équations, c'est ok! Nous pouvons donc commencer à résoudre notre système.
Prenons l'équation (6) et (3) pour remplacer tous nos d par -1/a et tous nos c par 1/a:
(1') Tg2: y = ax + b
(2') Tg1: y = -(1/a).x + 1/a
(4') x1 = (-1/a) + 2
(5') x2 = a + 2
(7') (1/2).(x2)2 - 2.x2 + 3 = a.x2 + b
(8') (1/2).(x1)2 - 2.x1 + 3 = (-1/a).x1 + 1/a
Utilisons à présent l'équation (4') et (5') pour remplacer tous nos x1 par (-1/a) + 2 et x2 par a + 2:
(1'') Tg2: y = ax + b
(2'') Tg1: y = (-1/a).x + 1/a
(7'') (1/2).(a + 2)2 - 2.(a + 2) + 3 = a.(a + 2) + b
(8'') (1/2).((-1/a) + 2)2 - 2.((-1/a) + 2) + 3 = (-1/a).((-1/a) + 2) + 1/a
L'équation (8'') va me permettre de trouver a.
Rappel:
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Soit l'équation du second degré |
Revenons à notre exercice avec l'équation (8''):
.GIF "point parabole tangence - tangente à la courbe")
Il ne nous reste plus qu'à calculer x2 et y2 :
(5') x2 = a + 2
Deux solutions sont donc possible, l'une avec a = 0,366 et l'autre avec a = -1,366
x2 = 0,366 + 2 = 2,366 ou x2 = -1,366 + 2 = 0,634
Or, y2 = f(x2) = (1/2).(x2)2 - 2x2 + 3
Donc pour x2 = 2,366 nous aurons y2 = (1/2) . 2,3662 - 2 . 2,366 + 3 = 1,067
Et pour x2 = 0,634 nous aurons y2 = (1/2) . (0,634)2 - 2 . (0,634) + 3 = 1,933
Conclusion:
En (x2 ; y2) = (2,366 ; 1,067), la tangente à la parabole est perpendiculaire à la tangente passant par (1 ; 0). Le même phénomène se produit en le point (0,634 ; 1,933) de la parabole. Il y a donc deux solutions possibles.
Utilisez notre Grapheur pour représenter le graphe de la parabole. Imprimez-le et vous pourrez alors tracer à la main les deux tangentes passant par le point (1 ; 0) ainsi que les deux autres tangentes perpendiculaires à la première. Ceci afin de vérifier graphiquement les valeurs de x2 et de y2 calculées.