Maths - exercices d'optimisation résolus : trouver les dimensions du plus gros container (volume maximum) tenant compte de l'augmentation du prix de l'acier entre 2007 et 2008 et en utilisant donc une surface d'acier minimum.

Dérivée : correction exercice 1.2 du Niveau avancé

1. Optimisation: 1.2 Le plus gros container

Le prix de l'acier ayant presque doublé en moins d'un an en passant de 400 euros la tonne en 2007 à 700 euros la tonne en 2008, il est capital d'économiser la matière. Il s'agit donc de construire des containers aussi grands que possible tout en utilisant une surface d'acier la plus faible possible en produisant le moins de déchets métalliques. C'est pourquoi on vous demande de trouver les dimensions du plus gros container (sans couvercle) que l'on peut fabriquer à partir d'une feuille d'acier rectangulaire de 24 m² en découpant des carrés égaux des quatre coins et en redressant les côtés. L'un des côtés de cette feuille d'acier doit mesurer 6 m pour des raisons de facilité de production.

Le schéma suivant représente la feuille de métal de 24 m² et la découpe des 4 coins carrés de x mètres de côté.

La surface de la feuille de métal initiale vaut l . L = 24 m².

Il est également dit dans l'énoncé que l'un des côté de la feuille (peu importe lequel) mesure 6 m. Posons alors l = 6.

Le volume de la boîte construite vaut
Volume = Largeur . longueur . hauteur = (L - 2x) . (l - 2x) . x

Que doit valoir la dérivée première et seconde de la fonction Volume ?

Rappel:

La valeur de x qui annule la dérivée première d'une fonction nous donne la coordonnée x d'un extremum (peu importe qu'il soit minimum ou maximum). Lorsque la dérivée seconde d'une fonction est positive, nous pouvons dire que nous avons une concavité up, c'est-à-dire que la courbe nous sourit. Donc un minimum implique une dérivée seconde positive. Tandis que lorsque la dérivée seconde est négative, la courbe présente une concavité down, c'est-à-dire un sourire inversé (ou un visage fâché). Donc un maximum implique une dérivée seconde négative.

Or nous souhaitons maximiser le volume, par consqéquent nous devons rechercher la valeur x qui annule la dérivée première (Volume)'. Nous obtiendrons plusieurs valeurs de x parmis lesquelles il faudra sélectionner celle qui rend la dérivée seconde (Volume)' ' négative afin de se retrouver dans la zonne du graphe où la concavité est down et ainsi nous assurer qu'il s'agit d'un maximum (volume max) et non d'un minimum (volume min).

Récapitulatif des équations:

(1) 24 = l . L

(2) l = 6

(3) Volume = (L - 2x) . (l - 2x) . x

(4) (Volume)' = 0

(5) (Volume)' ' < 0

(1') L = 24/l = 24/6 = 4

Nous allons injecter (1') et (2) dans (3), (4) et (5)

Volume = (L - 2x) . (l - 2x) . x

(3') Volume = (4 - 2x) . (6 - 2x) . x

(Volume)' = ((4 - 2x) . (6 - 2x) . x)' = 0

(Volume)' = -40x + 12x² + 24 = 0

En divisant gauche et droite par 4 nous obtenons:

(4') (Volume)' = -10x + 3x² + 6 = 0

Rappel:

Soit l'équation du second degré Si y = 0 nous avons Dans ce cas les valeurs de x, x1 et x2, correspondantes se calculent comme suit :

Nous résolvons donc l'équation (4') à l'aide de la formule de résolution des équations du second degré (formule ci-dessus).

Vérifions à présent laquelle de ces deux valeurs de x satisfait l'équation (5), c'est à dire la condition sur la dérivée seconde.

(5) (Volume)' ' < 0

(-10x + 3x² + 6)' < 0

-10 + 6x < 0

x < 10/6

x < 1,667

Par conséquent nous devons rejeter la solution x = 2,549 car cette valeur est supérieure à 1,667 De plus, vous remarquerez que si vous acceptiez x = 2,549 mètre vous auriez un des côtés de votre boîte qui mesurerait L - 2x = 4 - 2 . 2,549 = - 1,097 m, ce qui est physiquement impossible car une boîte ne peut pas avoir de mesure négative. Par contre la valeur de x = 0,785 m est tout à fait correcte car elle rend à la fois la dérivée première nulle et la dérivée seconde négative (concave down), il s'agit donc bien de la valeur de x qui maximise le volume de notre container.

Les dimensions de notre container seront donc:

Hauteur du container = x = 0,785 m

Longueur du container = l - 2x = 6 - 2 . 0,785 = 4,431 m

Largeur du container = L - 2x = 4 - 2 . 0,785 = 2,431 m