Exercice d'optimisation - mathématiques : maximiser l'aire (= superficie = surface) d'un champ de périmètre donné. Il faut trouver les dimensions du champ (longueur et largeur, en mètre) de superficie maximum dont le périmètre vaut 1200 m. Il s'agit donc de maximiser l'équation du second degré de la Surface, au moyen de dérivées premières et secondes.

Dérivée : correction exercice 1.3 du Niveau avancé

1. Optimisation: 1.3 Un fermier désire clôturer son champ

Un fermier souhaite entourer un champ rectangulaire et le diviser en deux parties égales à l'aide d'une clôture parallèle à l'un des côtés du champ. Il fait donc appel à vous, grand spécialiste en optimisation de clôture. Il vous demande de trouver les dimensions du champ d'aire maximale (superficie max) que l'on peut entourer et diviser avec 1200 m de clôture seulement.

(1) Surface = x . y (en m²)

Longueur de clôture = 2y + 2x + x = 1200 m

1200 = 2y + 3x

y = (1200 - 3x)/2

(2) y = 600 - 1,5x

Si l'on recherche la largeur x que le champ doit avoir pour obtenir une aire maximum, il faut dériver la fonction Surface par rapport à x et l'égaler à zéro: Surface ' = (x . y) ' = 0.

Surface = x . y = x . (600 - 1,5x) en remplaçant y par (2)

Surface = 600x - 1,5x²

(Surface) ' = (600x - 1,5x²) ' = 0

= 600 - 3x = 0

600 = 3x

x = 200 m

Il faut vérifier que la valeur de x = 200 corresponde bien à un extremum qui est un maximum et non un minimum puisque nous cherchons à maximiser l'aire du champ. Cependant, dans notre cas la dérivée seconde ne doit pas être calculée car la fonction Surface = 600x - 1,5x² est une équation du second degré, il s'agit donc d'une parabole. De plus le coefficient du x² est négatif (-1,5), ce qui signifie que la parabole est concave down, c'est à dire qu'elle est ouverte vers le bas et que son extremum est un maximum. Donc pas de souci,
x = 200 m représente bien la largeur du champ de superficie amximale qui peut être cloturé et divisé en deux parts égales avec seulement 1200 m de clôture. Sa longueur sera de
y = 600 - 1,5x = 600 - 1,5 . 200 = 300 m.