Exercice d'optimisation - maximiser ses bénéfices : comment transformer un problème mathématique d'optimisation (maximisation des bénéfices) en un système de n équations à n inconnues. Il faut maximiser la fonction de prix en trouvant la valeur de x qui annule la dérivée première et rend la dérivée seconde négative (pour se situer sur le sommet de la parabole, au maximum de la fonction du second degré).

Dérivée : correction exercice 1.4 du Niveau avancé

1. Optimisation: 1.4 Récolter son riz à temps pour maximiser ses bénéfices

Comme vous le savez, le prix du riz à l'exportation a doublé depuis février 2007 pour atteindre un sommet historique en février 2008 avec un prix de plus de 40 eurocents/kg. Le tout causant des problèmes de nutrition dans les régions du monde les moins riches. Si un fermier effectue sa récolte de riz aujourd'hui, il obtiendra 1200 kg valant 40 eurocents le kg. Pour chaque semaine d'attente, la récolte augmente de 100 kg mais le prix baisse de 2 eurocents par kg. Quand devrait-il effectuer sa récolte pour maximiser ses bénéfices ?

L'unique difficulté de cet exercice est de mettre le blabla infini de l'énoncé en équation. Résumons la situation sous forme de tableau:

Si le fermier attend 4 semaines, il peut gagner un maximum, c'est à dire 51200 cents (soit 512 Euros). Tandis que s'il attend 5 semaines, il touchera seulement 51000 cents (soit 510 Euros). Conclusion, au delà de 4 semaines d'attente, le fermier voit ses gains diminuer d'une semaine à l'autre. Essayons à présent de mettre cela en équation:

Q(x) = Quantité récoltée totale au cours des semaines

x = nombre de semaines d'attente

Q(x) = 1200 kg + x . 100 kg/semaine

P_1kg(x) = Prix au kg

P_1kg(x) = 40 cents - 2 cents . x

P_total(x) = Prix de la récolte totale

P_total(x) = Q(x) . P_1kg(x)

= (1200 + 100x) . (40 - 2x)

= -200x² + 1600x + 48000

Il s'agit à présent de trouver la valeur de x, c'est-à-dire le nombre de semaines d'attente, qui maximise la fonction P_total(x) (donc la valeur de x qui à la fois annule sa dérivée première et rend sa dérivée seconde négative)

Rappel:

La valeur de x qui annule la dérivée première d'une fonction nous donne la coordonnée x d'un extremum (peu importe qu'il soit minimum ou maximum). Lorsque la dérivée seconde d'une fonction est positive, nous pouvons dire que nous avons une concavité up, c'est-à-dire que la courbe nous sourit. Donc un minimum implique une dérivée seconde positive. Tandis que lorsque la dérivée seconde est négative, la courbe présente une concavité down, c'est-à-dire un sourire inversé (ou un visage fâché). Donc un maximum implique une dérivée seconde négative.

Nous recherchons donc la valeur de x qui permet simultanément d'avoir ( P_total(x) ) ' = 0 et ( P_total(x) ) ' ' < 0.

( P_total(x) ) ' = (-200x² + 1600x + 48000) ' = -400x + 1600 = 0

400x = 1600

x = 1600/400 = 4 semaines.

Dans notre cas la dérivée seconde ne doit pas être calculée car la fonction
P_total(x) = -200x² + 1600x + 48000 est une équation du second degré, il s'agit donc d'une parabole. De plus le coefficient du x² est négatif (-200), ce qui signifie que la parabole est concave down, c'est à dire qu'elle est ouverte vers le bas et que son extremum est un maximum.

Conclusion: la mise en équation confirme ce que nous avions conclu à l'aide du tableau en début de résolution, le fermier doit attendre 4 semaines avant de récolter et de vendre s'il veut maximiser ses gains.