Exercice d'optimisation : il s'agit de minimiser la surface des parois latérales d'une cuve cylindrique en acier (de volume donné) pour obtenir un dimensionnement qui économise au maximum la matière. Outils mathématiques à utiliser: dérivée première et dérivée seconde, techniques de résolution de systèmes d'équations, formule du calcul de l'aire d'un disque et du volume d'un cylindre.

Dérivée : correction exercice 1.5 du Niveau avancé

1. Optimisation: 1.5 Chaine de montage de Henry Ford

Dans une usine de construction de voitures, les pièces sont assemblées grâce au génie de l'Américain Henry Ford (grand sympathisant nazi et antisémite notoire, soit dit en passant, qui inventa et mit au point la chaîne de montage en 1906). Cependant, avant d'être assemblées, les portières de la voiture doivent être peintes. C'est pourquoi une énorme cuve cylindrique en acier, d'un volume de 64 m³, stocke de la peinture. Nous vous demandons de trouver les dimensions de la cuve pour que la quantité de métal nécessaire à sa construction soit minimale. Et cela dans un souci d'économiser la matière et donc les ressources limitées de la terre en général. Remarque importante: la cuve est totalement fermée.

Dessinons la cuve cylindrique et son développement

La surface totale du cylindre avec ses parois latérales et ses deux couvercles, A(r), est une fonction du rayon r:

A(r) = 2 π r² + 2 π r h

Récapitulatif des équations:

(1) Volume du cylindre: Vol = π r² h = 64 m³

(2) Aire_{parois latérales + 2 couvercles}: A(r) = 2 π r² + 2 π r h

Isolons la hauteur h en (1): h = 64 / (π r²)

Injectons la valeur de h dans (2): A(r) = 2 π r² + 2 π r ( 64 / (π r²) )

A(r) = 2 π r² + 128 / r

Nous voulons obtenir une cuve ayant un volume de 64 m³ mais en dépensant le moins d'argent possible donc en utilisant le moins de métal possible. Il s'agit alors de minimiser la surface de la cuve et de calculer la valeur du rayon r et de la hauteur h qui donneront un A(r)_min.

Rappel:

La valeur de x qui annule la dérivée première d'une fonction nous donne la coordonnée x d'un extremum (peu importe qu'il soit minimum ou maximum). Lorsque la dérivée seconde d'une fonction est positive, nous pouvons dire que nous avons une concavité up, c'est-à-dire que la courbe nous sourit. Donc un minimum implique une dérivée seconde positive. Tandis que lorsque la dérivée seconde est négative, la courbe présente une concavité down, c'est-à-dire un sourire inversé (ou un visage fâché). Donc un maximum implique une dérivée seconde négative.

Il faut donc résoudre les deux équations suivantes pour r:

A'(r) = 0 et

A' '(r) > 0

A(r) = 2 π r² + 128 / r

Nous dérivons facilement cette expression à l'aide des formules de dérivées apprises et nous obtenons:

A '(r) = 4 π r - 128 / r² = 0

d'où 4 π r³ = 128

r³ = 128 / 4 π

La dérivée seconde vaut A' '(r) = 4 π + 256 / r³. Par conséquent, quelle que soit la valeur du rayon r, la dérivée seconde A' '(r) sera toujours positive et nous aurons donc toujours affaire à un minimum.