Calcul de dérivée et durée du jour à Fairbanks en Alaska : la pente de la courbe, en un point donné, correspond à la dérivée de la courbe en ce point. La pente des tangentes à la courbe f(x) vous permet de tracer le graphique de la dérivée f'(x).

Dérivée : correction exercice 3.2 du Niveau avancé

3. Dérivée et graphe: 3.2 Durée du jour à Fairbanks, en Alaska

Remarque: pour résoudre cet exercice vous devrez imprimer ce graphique. Si vous n'avez pas d'imprimante, décalquez la courbe et les axes avec un crayon et une feuille de papier blanche que vous déposerez sur votre écran.

Le graphique suivant montre le nombre d'heures de clarté sur une journée à Fairbanks en Alaska, et ce pour chaque jour de l'année entre le 1er janvier et le 31 décembre.

Ainsi, par exemple, le 1^er septembre il n'y a que 5 heures de clarté à Fairbanks. Et le 1^er janvier la durée du jour est inférieure à 1 heure. Répondez aux questions suivantes en estimant la pente sur le graphique en heures/jour. Faites l'hypothèse que chaque mois de l'année ne comporte que 30 jours afin de simplifier le problème.

Rappel:

La pente d'une courbe, en un point donné, correspond à la dérivée de la courbe en ce point.

a) A quelle date le nombre d'heures de clarté quotidienne augmente-t-il le plus d'un jour à l'autre ? Et quel est ce taux d'augmentation (en heures/jour).

Je trace plusieurs tangentes à la courbe et je sélectionne la tangente la plus pentue, c'est-à-dire la tangente qui à la pente la plus élevée. Le graphique suivant représente cette tangente de pente maximum.

Vous constatez comme moi que le point de tangence avec la courbe est x = 1^er mai. Cela signifie que le premier mai correspond au jour où, d'un jour à l'autre, on gagne le plus d'heures de clarté.

Calculons à présent la pente de cette tangente:

Pente = = (7 - 0)heures / 120jours = 0,0583 heures/jour = 3,5 minutes/jour

Conclusion: vous voyez qu'autour du 1^er mai, la ville de Fairbanks gagne 3,5 minutes de clarté par jour. Il s'agit là du gain de clarté maximum entre un jour et le jour suivant. Il s'agit donc de la pente de la tangente la plus pentue. Pour toute autre date que celle du premier mai, vous constaterez, si vous faites le calcul, que entre un jour et le jour suivant, Fairbanks gagne toujours moins de 3,5 minutes de clarté.
Remarquez qu'après le premier juillet, les jours commencent à se racourcir, on perd alors des minutes de clarté d'un jour à l'autre.

b) Que vaut la dérivée de la courbe à la date trouvée en a).

La dérivée de la courbe au 1^er mai vaut 0,0583 heures/jour (pente calculée au point a) ) puisque la pente de la tangente à la courbe en x = 1^er mai est égale à la dérivée de la courbe en ce même point.

c) Voyez-vous des jours de l'année où le nombre d'heures de clarté quotidienne ne varie pas d'un jour à l'autre ? Si oui, pouvez-vous nous dire quels sont ces jours ? Et que vaut la dérivée de la courbe ces jours-là ?

Oui, le 1^er juillet, la tangente à la courbe est parfaitement horizontale, sa pente est donc nulle. Par conséquent autour du premier juillet, entre un jour et le suivant, on ne gagne et on ne perd aucune minute de clarté. Le premier juillet nous avons exactement 7 heures de clarté à Fairbanks et c'est pareil le 2 juillet.
Nous pouvons aussi dire qu'au premier juillet, la dérivée de la courbe vaut 0 car ce 0 est aussi la valeur de la pente de la tangente à la courbe en x = 1^er juillet.

d) A quelles dates le taux de variation du nombre d'heures de clarté quotidienne est
positif ? Est négatif ? En déduire le signe de la dérivée en ces dates ?

Entre le premier janvier et le premier juillet, les jours ne font que s'allonger, la pente de la tangente est donc toujours positive et la dérivée de la courbe aussi.

Par contre après le 1^er juillet, et jusqu'au 31 décembre, les jours ne font que racourcir. En effet, d'un jour à l'autre on perd des minutes de clarté et la pente de la courbe est négative, ce qui implique une dérivée elle aussi négative.