Population de drosophiles (mouche) - Taux de croissance d'une population de mouches (drosophile) - Comment calculer une dérivée graphique - comment dériver graphiquement - estimer la valeur de la dérivée avec le tracé des tangentes et le calcul de pente - la pente de la tangente à la courbe en un point est égale à la valeur de la dérivée de la courbe en ce point.
Dérivée : correction exercice 4.3 du Niveau avancé
4. Dérivée appliquée à la biologie, à la médecine et à l'économie: 4.3 Démographie chez les drosophiles
Les populations qui se développent dans un environnement clos commencent toujours par grossir lentement parce que au début il y a très peu d'individus pour procréer. Ensuite, à mesure que le nombre d'individus en âge de se reproduire augmente, la population croît plus rapidement. Mais très vite, les ressources se font plus rares, l'espace et la nourriture ne sont plus aussi abondants qu'aux premiers jours, la croissance de la population ralentit. On a atteint la capacité portante de l'environnement. Cette situation est décrite par une fonction mathématique dont le graphe (ci-dessous) représente l'évolution de la taille d'une population de drosophiles (mouches) au cours du temps:
Remarque: pour résoudre cet exercice vous devrez imprimer ce graphique. Si vous n'avez pas d'imprimante, décalquez la courbe et les axes avec un crayon et une feuille de papier blanc que vous déposerez sur votre écran.
On vous demande:
a) Utilisez une technique graphique pour tracer la fonction dérivée de cette courbe. Quelles unités utiliserez-vous pour l'axe horizontal et vertical du graphe de la fonction dérivée ?
Vous devez tracer les tangentes à la courbe en différents points de la courbe. Ensuite il s'agit de calculer la pente de chaque tangente. En effet,
la pente de chacune de ces tangentes est égale à la valeur de la dérivée de la courbe en ces points. Vous obtenez les résultats suivants:
En x = 0, pente de la tangente = valeur de la dérivée en ce point = y' = 0.
En x = 5, pente de la tangente = valeur de la dérivée en ce point = y' = 1.
En x = 10, pente de la tangente = valeur de la dérivée en ce point = y' = 2,64.
En x = 15, pente de la tangente = valeur de la dérivée en ce point = y' = 8.
En x = 20, pente de la tangente = valeur de la dérivée en ce point = y' = 14,55.
En x = 25, pente de la tangente = valeur de la dérivée en ce point = y' = 17,5.
En x = 30, pente de la tangente = valeur de la dérivée en ce point = y' = 13,8.
En x = 35, pente de la tangente = valeur de la dérivée en ce point = y' = 7,14.
En x = 40, pente de la tangente = valeur de la dérivée en ce point = y' = 2,5.
En x = 45, pente de la tangente = valeur de la dérivée en ce point = y' = 0,6.
En x = 50, pente de la tangente = valeur de la dérivée en ce point = y' = 0.
Représentez ces points de coordonnées (x , y') sur un graphique d'axes x et y' orthonormés et vous obtenez le graphe suivant:
L'axe vertical de ce graphique représente y', c'est-à-dire la dérivée de la fonction y proposée dans l'énoncé. Les unités de y' sont les mêmes que celles des pentes des tangentes calculées ci-dessus. Or, lors du calcul de pente, vous divisez un intervalle de y par un intervalle de x (delta y / delta x), les unités de cette pente sont donc: nombre de mouches / jour. Et les unités de la dérivée y' sont donc nombre de mouches / jour. N'oubliez pas que le calcul d'une pente et celui d'une dérivée sont deux manières différentes d'obtenir la même information : à savoir, si la courbe est fortement ou faiblement inclinée (= fort pentue ou peu pentue).
Par conséquent, l'axe vertical y' compte le nombre de mouches qu'il y a en plus dans la population par jour. Ainsi, par exemple, au 15ème jour, vous observez sur le graphique de la dérivée que la population s'est accrue de 8 mouches dans les dernières 24 heures. Tandis qu'au 45ème jour, la croissance de la population de drosophiles a fortement diminuée car vous n'observez plus qu' un accroissement net de 0,6 mouches dans les dernières 24 heures. Ce qui signifie que la population croît d'environs une mouche toutes les 48 heures.
L'axe des x ne change pas, les unités de l'axe x sont toujours le temps : nombre de jours écoulés depuis l'instant initial
.b) Quels sont les jours durant lesquels la population semble grossir / grandir le plus vite ? Le plus lentement ?
La population croît le plus vite le jour où la valeur de la dérivée est la plus grande, c'est-à-dire au 25ème jour. En effet, ce jour-là vous observez un accroissement net de +17,5 drosophiles d'un jour à l'autre.
Et la population croît le plus lentement le jour où la valeur de la dérivée est la plus faible, c'est-à-dire au début (jour 0) et au-delà du 50ème jour. Au début, la croissance de la population est faible car il y a peu d'individus pour procréer. A la fin, au-delà du 50ème jour, la croissance devient nulle parce que la population à atteind la capacité portante du milieu. C'est à dire que le nombre de naissances quotidiennes arrive a un équilibre avec le nombre de morts quotidiens. Conclusion, pour chaque drosophile qui nait, meurt une autre drosophile, vous observez alors un équilibre dynamique et la stagnation de la taille de la population (droite horizontale et y > 0 sur le graphe de y en fonction de x. Valeur de la dérivée nulle: y' = 0 sur le second graphe).
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