Exercice de mathématiques résolu - étude de la dérivée graphique - étude de la croissance d'une population de phoques et d'ours - taux de croissance d'une population de phoques - population arctique - comment calculer une dérivée graphique - comment dériver graphiquement - estimer la valeur de la dérivée avec le tracé des tangentes et le calcul de pente - la pente de la tangente à la courbe en un point est égale à la valeur de la dérivée de la courbe en ce point.
Dérivée : correction exercice 4.4 du Niveau avancé
4. Dérivée appliquée à la biologie, à la médecine et à l'économie: 4.4 Population arctique de phoques et d'ours
Le graphique suivant montre le nombre de phoques et d'ours dans une population arctique. L'évolution de ces deux populations a été étudiée sur une période de 600 jours:
Premier graphique
Nombre initial de phoques = 3000.
Nombre initial d'ours = 400
Remarquez que le nombre de phoques augmente au début alors qu'ils se reproduisent beaucoup. Cependant, les ours mangent les phoques et, la nourriture étant abondante, eux aussi se reproduisent. A mesure que le nombre d'ours augmente, la croissance de la population de phoques ralentit, pour finalement amener au déclin. Le graphique suivant montre la dérivée de la population de phoques en fonction du temps (il s'agit donc de la dérivée de la courbe bleue claire du graphe ci-dessus).
Second graphique
Vous devez à présent répondre aux questions suivantes:
a) Quelles est la valeur de la dérivée de la population de phoques en fonction du temps lorsque le nombre de phoques est le plus important ? Lorsqu'il est le moins important ? Expliquez ce que signifie le résultat obtenu.
Je vous propose de raisonner, dans un premier temps, sans regarder le graph de la dérivée. Vous observez sur le premier graphe de l'énoncé que le nombre de phoques
devient maximum au 120ème jour avec 5800 phoques. Or la tangente à la courbe en temps = 120 est une droite horizontale et donc de pente
nulle. Nous pouvons donc conclure que la dérivée de la courbe en temps = 120 vaut zéro. En effet, souvenons-nous que la pente de la tangente en un point
d'une courbe est égale à la valeur de la dérivée de la courbe en ce point. Profitons-en pour parler d'extrema et de maximum :
en d'autre termes, lorsque le nombre de phoques est maximum, la dérivée de la population par rapport au temps est égale à zéro. C'est la propriété d'un extremum (maximum).
Même raisonnement lorsque le nombre de phoques est minimum, c'est-à-dire au 450ème jour et au-delà. A partir 450ème jour, la tangente
à la courbe devient horizontale d'où la valeur de la dérivée de la courbe pour des temps > 450 vaut zéro.
Répondons toujours à la même question mais en basant cette fois-ci notre raisonnement sur le graphique de la dérivée (ci-dessous) :
La première courbe de l'image (ci-dessus) représente l'évolution du nombre de phoques en fonction du temps. Il s'agit de la première courbe proposée dans l'énoncé de l'exercice. Tandis que la seconde courbe représente la dérivée (y') du nombre de phoques en fonction du temps. Il s'agit du second graphique proposé dans l'énoncé de cet exercice corrigé. Vous observez qu'en plaçant ces deux courbes (y et y') l'une en dessous de l'autre, le résultat est immédiat. Pour un nombre de phoques maximum (= extremum du premier graph), la dérivée y' est nulle (voyez l'intersection avec le second graphe). Et pareil pour un nombre de phoques minimum.
Pour conclure, remarquez que le graph de la dérivée représente la variation du nombre de phoques par jour au sein de la population de phoques. Il s'agit donc d'un DELTA phoques / DELTA temps. Et si le temps est compté en jours, le graphe de la dérivée nous montre, pour chaque jour, le nombre de phoques en plus (ou en moins) que nous avons dans la population (= nombre de phoques nés moins le nombre de phoques morts par prédation ou de manière naturelle). Ainsi, au 120 ème jour vous observez bien qu'il y a 5800 phoques dans la population et ce jour-là la population a stagné (voir graphique de la dérivée). C'est-à-dire que ce jour-là, le nombre de phoques nés est égale au nombre de phoques morts.
b) Quelle est la taille de la population de phoques lorsque sa dérivée est la plus grande ? Lorsque sa dérivée est la plus faible. Expliquez également la signification du résultat obtenu.
Vous devez ici également baser votre raisonnement sur le graphe de y et de y' mis l'un en dessous de l'autre. Vous voyez alors directement que lorsque la valeur de la dérivée est la plus grande, autrement dit lorsque la croissance de la population de phoques est la plus forte, la population compte 3000 individus (jour 0, ou premier jour si vous préférez). Tandis que lorsque la dérivée est la plus faible, vous observez qu'il y a 4000 phoques dans la population (jour 187). Remarquez que dans notre cas, la valeur de la dérivée minimum est une valeur négative. Il s'agit donc d'une décroissance de population: le nombre de phoques morts est supérieur au nombre de naissances. Pour être précis, au 187ème jour, nous perdons 37 phoques par jour (voir graphique de la dérivée).
c) En quelles unités doivent être exprimées la pente du premier graphique et l'axe vertical du second graphique ?
La pente du premier graphique (y) =
DELTA y / DELTA x =
DELTA phoques / DELTA jours =
(nombre de phoques au jour i - nombre de phoques au jour j) / (jour i - jour j)
d'où les unités de la pente sont des phoques par jour: phoques/jours
L'axe vertical du second graphe est y', c'est la dérivée de y et elle s'exprime dans les mêmes unités que celles de la pente du premier graphique donc en phoques/jour.
Conclusion: le second graphique est aussi le graph qui représente, pour chaque jour, la valeur de la pente de la courbe du premier graphique en ce jour.
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