Dérivée : correction exercice 4.6 du Niveau avancé
Dérivée appliquée à la biologie, à la médecine et à l'économie: Coût et revenu en économie: maximisez votre bénéfice
Il existe en économie, des relations mathématiques entre le revenu, r(x), et le bénéfice, b(x). Le revenu est l'argent reçu lorsque l'on a produit (et donc vendu) x articles. Quant au bénéfice, on le calcule en soustrayant les coûts, c(x), au revenu.
|
r(x) = revenu engendré par la production (et donc la vente) de x articles. c(x) = coûts engendrés par la production de x articles (main d'oeuvre à payer, chauffage des bâtiments, loyer des bureaux et hangars,...) b(x) = r(x) – c(x) = bénéfice dû à la production (et donc à la vente) de x articles. |
Vous avez remarqué que le revenu, le coût et le bénéfice sont toutes des fonctions du nombre d'articles produits, x. Aussi, la dérivée du revenu par rapport à x, r'(x), nous donne le revenu marginal. Or nous savons qu'une dérivée n'est autre que le calcul d'une pente, par conséquent le revenu marginal r'(x) représente un 
(pour un interval sur r et sur x infiniment petit), ce qui nous donne la pente de la courbe à différents niveaux de production, c'est à dire pour différentes valeurs de x. Nous savons ainsi, grâce au revenu marginal, quel sera le revenu supplémentaire engendré, 
, pour produire un article de plus, 
.
Il en va de même pour la dérivée du coût par rapport à x, c'(x), qui nous donne le coût marginal et donc le coût supplémentaire lié à la production d'un article de plus, et ce pour différents niveaux de production.
|
r'(x) = revenu marginal. c'(x) = coût marginal. |
Le graphique ci-dessous met en évidence le fait important suivant:
|
Le bénéfice maximum et positif (= gain) survient à un niveau de production (donc à une valeur de x spécifique) pour lequel le revenu marginal est égal au coût marginal: b(x) = max si r'(x) = c'(x) et b(x) > 0 |
En effet, dans notre exemple, l'entreprise travaille avec un bénéfice positif à droite du point d'égalité. Et ce parce que la courbe du revenu est au-dessus de celle du coût donc b(x) = r(x) – c(x) > 0. L'entreprise gagne alors de l'argent. Le bénéfice maximum et positif (= gain) survient, quant à lui, toujours à droite du point d'égalité (dans notre exemple dumoins), lorsque les deux tangentes vertes sont parallèles, c'est à dire lorsque b'(x) = c'(x) – r'(x) = 0 (nous obtenons la coordonnée x des extrema en égalant la dérivée première du bénéfice à zéro) donc lorsque c'(x) = r'(x).
Cependant, remarquez qu'a l'extrême droite du graphique les coût sont supérieurs aux revenus, l'entreprise travaille à perte. Cela peut arriver sutie à une inefficacité des opérations dûe à un trop haut taux de production combiné à un marché saturé sur lequel on ne parvient plus à vendre la marchandise.
A gauche du point d'égalité, l'entreprise opère également à perte. Les coûts sont supérieurs aux revenus, on ne produit pas assez de marchandise et la vente ne parvient pas à couvrir les coûts de production. L'entreprise se trouve dans une situation où
b'(x) = 0; c'(x) = r'(x) mais b(x) est min et < 0. Il s'agit d'un bénéfice minimum et négatif, donc d'une perte maximum !
|
La perte maximum survient elle aussi pour une valeur de x où les tangentes vertes sont parallèles, mais on la distingue du bénéfice maximum car la courbe du coût est au-dessus de celle du revenu: c(x) > r(x) donc b(x) < 0 donc perte. |
On vous donne les équations suivantes
r(x) = 10 . x
c(x) = x3 - 6.x2 + 15.x + 5
x = nombre d'articles produits, en milliers d'unités.
Que représentent le revenu marginal r'(x) et le cout marginal c'(x) ?
Remarquez que r'(x) = Delta r / Delta x = calcul de la pente de la courbe du revenu r(x).
Plus précisément, r'(x) = dr/dx où dr = Delta r mais pour un Delta r très très petit. Et de même dx = Delta x où Delta x est un intervalle infiniment petit sur l'axe des x.
Par conséquent le revenu marginal, r'(x), nous indique de combien d'euros va augmenter le revenu (Delta r) si on produit Delta x articles en plus.
Donc dr/dx est une autre manière d'exprimer la dérivée r'(x) du revenu r(x).
Même raisonnement pour le coût marginal c'(x).
a) Y a-til un niveau de production qui maximise le bénéfice ? Si oui, lequel.
b(x) = r(x) - c(x)
= (10x) - (x3 - 6x2 + 15x + 5)
= -x3 + 6x2 - 5x - 5
b'(x) = -3x2 + 12x - 5
Si b'(x1) = 0 et b(x1) > 0 alors x1 est le nombre d'articles qu'il faut produire pour obtenir le bénéfice le plus élevé.
Il vous faut à présent résoudre l'équation du second degré suivante : b'(x) = -3x2 + 12x - 5 = 0 et identifier ainsi les deux valeurs de x qui rendent cette équation nulle.
Vous obtenez x = 0,47 ou x = 3,53.
Vous devez à présent vérifier si ces deux valeurs de x rendent bien la fonction du bénéfice b(x) positive.
b(0,47) = - 6,13 --> Valeur négative --> Perte!
b(3,53) = 8,13 --> Valeur positive --> Gain!
Conclusion, si nous produisons 3,53 articles (x = 3,53) alors la dérivée du bénéfice b'(x) = 0 et b(x) > 0. Nous maximisons alors les gains en rendant les revenus r(x) supérieurs aux coûts c(x).
Il faut bien entendu rejeter la solution x = 0,47 car cela engendre un bénéfice négatif donc une perte d'argent car r(x) < c(x) (revenus inférieurs aux coûts).
Remarquez que x = 3,53 représente 3 unités produisent plus 0,53 unités. Or il n'est pas possible de produire 0,53 articles. Par conséquent, le producteur devra produire 3 ou 4 articles. A lui de décider laquelle des deux valeurs il choisit en fonction de son organisation et de ses contraintes de travail.
b) Trouvez un niveau de production qui minimise le coût moyen de production.
Le coût moyen de production, c'est le coût de production de x articles divisé par le nombre d'articles produits.
Coût moyen de production = c(x) / x = (x3 - 6.x2 + 15.x + 5) / (x)
= x2 - 6x + 15 + (5/x).
Si vous tracez le graphique de l'équation de de ce coût moyen de production à l'aide du Grapheur, vous constaterez que la fonction a un minimum en x = 3,24. Cela signifie que le coût moyen de production est optimum (= le plus bas) pour 3,24 unités produites.
Attention, si vous voulez voir quelque chose de concret, prenez garde à tracer votre graphique sur un intervalle de x compris entre 0 et 5, et un intervalle de y compris entre 0 et 15.
c) Le niveau de production qui maximise le bénéfice et celui qui minimise le coût moyen son-il différents ? Fort différents ? Ou égaux ?
Le niveau de production qui maximise le bénéfice est x = 3,53 unités produites tandis que le niveau de production qui minimise le coût moyen est x = 3,24 unités produites. De fait ces deux valeurs sont fort proches l'une de l'autre. Dans cet exemple, le point de benéfice max est fort proche du point de cout moyen min. Cependant ces deux points restent distincts.
d) Après avoir répondu aux questions a), b), c) et réalisé tous vos calculs, utilisez
Le Grapheur pour tracer r(x), c(x) et leur dérivée respective afin de vérifier vos réponses et de visualiser graphiquement ce qui se cache derrière ces fonctions et dérivées « mystiques ».
Ici je ne peux plus rien pour vous, c'est à vous de jouer.
Vous ne pigez définitivement rien à ces histoires de dérivée du coût de production et de coût marginal ? Ne vous inquiétez pas, des mathématiciens chevronnés sont en ligne pour vous venir en aide gratuitement et rapidement en prime. Demandez-leur un coup de pouce sur les deux forums de mathématiques gratuits suivants :