Exercice corrigé de mathématique et de physique appliqué à la médecine - maximiser la vitesse d'expulsion de l'air (Bernouilli) dans la trachée lors d'une toux - rayon de la trachée - contraction de la trachée - calcul du rayon de la trachée.
4. Dérivée appliquée à la biologie, à la médecine et à l'économie: 4.5 Le diamètre de votre trachée se réduit 33% lors d'une toux
Lorsque vous toussez, votre trachée se contracte pour augmenter la vitesse avec laquelle l'air est expulsé vers l'extérieur (voir Bernouilli). Ceci nous amène à nous poser la question suivante: de combien de centimètres le rayon de votre trachée doit-il se réduire pour contracter cette dernière et maximiser ainsi la vitesse d'expulsion de l'air. La formule suivante décrit une relation entre v (vitesse d'expulsion de l'air au sein de votre trachée lorsque vous toussez) et r (rayon de la trachée).
v = c . (r0 - r) . r2
v en cm/s,
c est une constante positive dont la valeur dépend de la longueur de votre trachée,
r0 est le rayon de votre trachée au repos,
r est le rayon de votre trachée lorsque vous toussez.
On vous demande :
a) De démontrer que l'air est expulsé avec une vitesse v maximum lorsque
r = (2/3).r0 , c'est-à-dire lorsque le rayon de la trachée s'est réduit de 33,33%. Le fait le plus remarquable, c'est que les images prisent aux rayons X confirment cette valeur de 33,33% de contraction de la trachée.
La vitesse v est une fonction de la variable r.
v(r) = c . (r0 - r) . r2
où c et r0 sont des constantes appartenants aux nombres réels.
Nous savons (grâce à ce que nous avons appris au niveau débutant et intermédiaire) que si v'(r1) = 0 et v''(r1) < 0 alors nous avons un maximum en r = r1.
Je vous propose donc de calculer la dérivée première et la dérivée seconde de la fonction
v(r).
Trouvons d'abord la valeur de r qui annule la dérivée première:
v'(r) = c . ( [r0 - r] . r2 )'
= 2 c r0 r - 3 c r2
v'(r) = 0 = 2 c r0 r - 3 c r2 (en simplifiant les c et les r de chaque côté vous obtenez...)
2 r0 = 3 r
et donc r = (2/3) . r0
Cherchons ensuite la valeur de r qui rend la dérivée seconde négative:
v''(r) = 2 c r0 - 6 c r
v''(r) < 0 donc 2 c r0 - 6 c r < 0 d'où
r > r0/3 (ceci signifie que r doit être plus grand que r0/3 pour que v soit max).
Conclusion: la dérivée seconde nous confirme que (2/3) . r0 correspond bien a la valeur du rayon de la trachée pour laquelle la vitesse d'expulsion de l'air est la plus grande. Et ce puisque (2/3) . r0 est plus grand que r0/3.
b) Tracer le graphe de v(r) et de sa dérivée v'(r) à l'aide du Grapheur. Prenez r0 = 2 cm et c = 1. Remplacez la lette r par la lettre x dans votre équation. Vérifiez ensuite, graphiquement, que le rayon r correspondant à la vitesse d'expulsion maximum correspond bien aux deux tiers de la valeur r0. Vérifiez également graphiquement la valeur de la dérivée à cet endroit (elle doit être nulle).
Ici c'est à vous de jouer, je ne peux plus rien pour vous. Bon amusement avec le Grapheur
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